R3上の線形空間Vの２つの基底E, Fを
\begin{equation}
E = < e_{1}, e_{2}, e_{3} > , F = < f_{1}, f_{2}, f_{3} >
\end{equation}
のように書きます。
Vのベクトルxを、２つの基底E, Fによって
\begin{equation}
x = x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}
\end{equation}
\begin{equation}
= y_{1}f_{1}+y_{2}f_{2}+y_{3}f_{3}
\end{equation}
と表すとき、
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
p_{11} & p_{12} & p_{13} \\
p_{21} & p_{22} & p_{23} \\
p_{31} & p_{32} & p_{33}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
y_1 \\
y_2 \\
y_3
\end{pmatrix}
\tag{1}
\end{equation}
が成り立つ。行列Pを基底の取り替え E→F の行列と言う。
見方を変えて、(y1,y2,y3)=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)のとき、fiをe1, e2, e3の線型結合として表すと
\begin{equation}
f_{i}=\sum_{j=1}^{3}p_{ji}e_j (i=1,2,3) \tag{2}
\end{equation}
となる。
実際に数値を当てはめて、計算してみよう。
\begin{equation}
E=<
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
,
\begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
,
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1
\end{pmatrix}
>,
\end{equation}
\begin{equation}
F=<
\begin{pmatrix}
3 \\
-1 \\
4
\end{pmatrix}
,
\begin{pmatrix}
4 \\
1 \\
8
\end{pmatrix}
,
\begin{pmatrix}
3 \\
-2 \\
6
\end{pmatrix}
>
\end{equation}
が基底なら、(2)式より基底の取り替え E→F の行列Pは
\begin{equation}
P=
\begin{pmatrix}
9/2 & 5 & 13/2 \\
-1/2 & -2 & -3/2 \\
-1/2 & 3 & -1/2
\end{pmatrix}
\end{equation}
と計算される。この結果を使って、基底の変換を試みよう。
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
y_{1} \\
y_{2} \\
y_{3}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
\end{equation}
のとき、式(1)より
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
19/2 \\
-5/2 \\
5/2
\end{pmatrix}
\end{equation}
が計算される。ではV上のベクトルxは
\begin{equation}
x = x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}
\end{equation}
\begin{equation}
= 19/2
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
-5/2
\begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
+5/2
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
7 \\
0 \\
12
\end{pmatrix}
\end{equation}
\begin{equation}
x = y_{1}f_{1}+y_{2}f_{2}+y_{3}f_{3}
\end{equation}
\begin{equation}
=1
\begin{pmatrix}
3 \\
-1 \\
4
\end{pmatrix}
+1
\begin{pmatrix}
4 \\
1 \\
8
\end{pmatrix}
+0
\begin{pmatrix}
3 \\
-2 \\
6
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
7 \\
0 \\
12
\end{pmatrix}
\end{equation}
となります。答えが合いました。
ただし、この変換は極座標のような並進が伴わない場合か、２体問題の場合に有効である。
多元的宇宙への応用
世界が３次元の記憶装置だとすると、基底がE=クロネッカーのデルタだけでは勿体無い。基底Eだけでなく、基底E'、E''、E'''と増やせば、メモリ容量は同じで様々な世界を再帰できる。私はこれを“Multiplexing in Memory”、メモリ内多重化と名付けよう。Eはヒトが見る世界だとすれば、E'は犬が見る世界、E''は猫が見る世界、E'''は突飛な動きをする羽虫の世界。というようにメモリの容量を変えずに世界を派生できる。当然、羽虫の世界はクロネッカーのデルタには程遠い基底であるはずだ。メモリは共有だから、Eからも羽虫の動きは見える。これが多元的宇宙(Multiverse)である。オラクルはゼロ行列だ。