R3上の線形空間Vの２つの基底E, Fを
\begin{equation}
E = < e_{1}, e_{2}, e_{3} > , F = < f_{1}, f_{2}, f_{3} >
\end{equation}
のように書きます。
Vのベクトルxを、２つの基底E, Fによって
\begin{equation}
x = x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}
\end{equation}
\begin{equation}
= y_{1}f_{1}+y_{2}f_{2}+y_{3}f_{3}
\end{equation}
と表すとき、
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
p_{11} & p_{12} & p_{13} \\
p_{21} & p_{22} & p_{23} \\
p_{31} & p_{32} & p_{33}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
y_1 \\
y_2 \\
y_3
\end{pmatrix}
\tag{1}
\end{equation}
が成り立つ。行列Pを基底の取り替え E→F の行列と言う。
見方を変えて、(y1,y2,y3)=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)のとき、fiをe1, e2, e3の線型結合として表すと
\begin{equation}
f_{i}=\sum_{j=1}^{3}p_{ji}e_j (i=1,2,3) \tag{2}
\end{equation}
となる。
実際に数値を当てはめて、計算してみよう。
\begin{equation}
E=<
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
,
\begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
,
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1
\end{pmatrix}
>,
\end{equation}
\begin{equation}
F=<
\begin{pmatrix}
3 \\
-1 \\
4
\end{pmatrix}
,
\begin{pmatrix}
4 \\
1 \\
8
\end{pmatrix}
,
\begin{pmatrix}
3 \\
-2 \\
6
\end{pmatrix}
>
\end{equation}
が基底なら、(2)式より基底の取り替え E→F の行列Pは
\begin{equation}
P=
\begin{pmatrix}
9/2 & 5 & 13/2 \\
-1/2 & -2 & -3/2 \\
-1/2 & 3 & -1/2
\end{pmatrix}
\end{equation}
と計算される。この結果を使って、基底の変換を試みよう。
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
y_{1} \\
y_{2} \\
y_{3}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
\end{equation}
のとき、式(1)より
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
19/2 \\
-5/2 \\
5/2
\end{pmatrix}
\end{equation}
が計算される。ではV上のベクトルxは
\begin{equation}
x = x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}
\end{equation}
\begin{equation}
= 19/2
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
-5/2
\begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
+5/2
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
7 \\
0 \\
12
\end{pmatrix}
\end{equation}
\begin{equation}
x = y_{1}f_{1}+y_{2}f_{2}+y_{3}f_{3}
\end{equation}
\begin{equation}
=1
\begin{pmatrix}
3 \\
-1 \\
4
\end{pmatrix}
+1
\begin{pmatrix}
4 \\
1 \\
8
\end{pmatrix}
+0
\begin{pmatrix}
3 \\
-2 \\
6
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
7 \\
0 \\
12
\end{pmatrix}
\end{equation}
となります。答えが合いました。
ただし、この変換は極座標のような並進が伴わない場合か、２体問題の場合に有効である。
多元的宇宙への応用
世界が３次元の記憶装置だとすると、基底がE=クロネッカーのデルタだけでは勿体無い。基底Eだけでなく、基底E'、E''、E'''と増やせば、メモリ容量は同じで様々な世界を再帰できる。私はこれを“Multiplexing in Memory”、メモリ内多重化と名付けよう。Eはヒトが見る世界だとすれば、E'は犬が見る世界、E''は猫が見る世界、E'''は突飛な動きをする羽虫の世界。というようにメモリの容量を変えずに世界を派生できる。当然、羽虫の世界はクロネッカーのデルタには程遠い基底であるはずだ。メモリは共有だから、Eからも羽虫の動きは見える。これが多元的宇宙(Multiverse)である。オラクルはゼロ行列だ。
and taste, if only for a single moment, with the limited power that is in my breast, one drop of the blessed serenity of that Being who makes all things, in Himself and through Himself.
The Sorrows of Young Werther, Johann Wolfgang von Goethe.
加群と乗群の両方を取り入れようとしたから、おかしなことになった。足し算と掛け算どちらが大事かと言えば、足し算の方が大事だ。足し算を繰り返せば掛け算できるから。でも逆は不可能。大体、原点がゼロなのにベクトルの掛け算が回転になるなんて奇天烈だね。基底eのノルムが１の要請はそこから来るのだろう。原点がゼロなら加群のみ計算すればいいじゃないか。基底は原点と同じゼロだ。これで借方と貸方が合うから仕合わせだね。互明さん。